纸上谈兵: 数学归纳法, 递归, 栈

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数学归纳法

数学归纳法(mathematical induction)是这名 数学证明法律辦法 ,常用于证明命题(命题是对某个问题报告 图片的描述)在自然数范围内成立。随着现代数学的发展,自然数范围内的证明实际上构成了这名 这名 领域(比如数学分析)的基础,所以数学归纳法对于整个数学体系至关重要。

数学归纳法这名 非常简单。愿因着着这名 人 你可不能能 证明某个命题对于自然数n都成立,还不想 了:

第一步 证明命题对于n = 1成立。

第二步 假设命题对于n成立,n为任意自然数,证明在此假设下,命题对于n+1成立。

命题得证

想一下顶端的有5个 步骤。它们实际上愿因着着,命题对于n = 1成立 -> 命题对于n = 2成立 -> 命题对于n = 3成立……直到无穷。否则 ,命题对于任意自然数都成立。这就好像多米诺骨牌,这名 人 选择n的倒下会愿因着n + 1的倒下,否则 推倒第一块骨牌,就能保证任意骨牌的倒下。

这名 人 来看一下使用数学归纳法来证明高斯求和公式:

n为任意自然数。

(这名 公式据说是高斯小学时想出来的。老师惩罚全班同学,还要算出1到80的累加,不想 回家。于是高斯想出了顶端的法律辦法 。天才都是被逼出来的么?)

这名 人 的命题是: 高斯求和公式对于任意自然数n都成立。

下面为数学归纳法的证明步骤:

第一步 n = 1,等式左边(1的累加)为1,右边(右边公式代入n=1)也为1,等式两边相等,等式成立,否则 命题对于 n = 1 成立。

第二步 假设上述公式对于任意n成立, 即1到n的累加为n*(n+1)/2

    还不想 了,对于n+1,等式的左边(从1到n+1的累加)等于n*(n+1)/2 + (n+1),即(n+1)*(n+2)/2

                  等式的右边的n用n+1代替,成为(n+1)*(n+2)/2

    等式两边相等,等式成立。否则 ,当假设命题对于n成立时,命题对于n+1成立。

否则 ,命题得证。

递归

递归(recursion)是计算机中的重要概念,它是指有5个 计算机多线程 池池调用其自身。为了保证计算机不陷入死循环,递归要求多线程 池池有有5个 不想 达到的终止条件(base case)。比如下面的多线程 池池,是用于计算高斯求和公式:

/*
 * Gauss summation
 */

int f(n)
{
    if (n == 1) { 
        return 1;  // base case
    }
    else {
        return f(n-1) + n;  // induction
    }
}

在多线程 池池中规定了f(1)的值,以及f(n)和f(n-1)的关系。这正是数学归纳法思想的体现。你可不能能 得到f(n),还要计算f(n-1);你可不能能 f(n-1),还要计算f(n-2)……直到f(1)。愿因着着这名 人 愿因着着知道了f(1)的值,这名 人 就还不想 填补前面所有的空缺,最终返回f(n)的值。

递归是数学归纳法在计算机中的多线程 池池实现。使用递归设计多线程 池池的原先,这名 人 设置base case,并假设这名 人 会获得n-1的结果,并实现n的结果。这就好像数学归纳法,这名 人 只关注初始和衔接,而不还要关注具体的每一步。

递归是用栈(stack)数据特征实现的。正如这名 人 顶端所说的,计算f(n),还要f(n-1);计算f(n-1),还要f(n-2)……。这名 人 在寻找到f(1)原先,会有这名 空缺: f(n-1)的值哪几个? f(n-2)的值是哪几个? …… f(2)的值是哪几个?f(1)的值是哪几个? 这名 人 的第有5个 问题报告 图片是f(n)是哪几个,结果,这名 问题报告 图片引出下有5个 问题报告 图片,再下有5个 问题报告 图片…… 每个问题报告 图片的解答都依赖于下有5个 问题报告 图片,直到这名 人 找到第有5个 还不想 回答的问题报告 图片: f(1)的值是哪几个?

这名 人 用栈来保存这名 人 在探索过程中的问题报告 图片。C语言中,函数的调用愿因着着是用栈记录离场情境和返回地址。递归是函数对自身的调用,所以很自然的,递归用栈来保存这名 人 的“问题报告 图片” 。

这名 人 假设栈向下增长。首先,这名 人 调用f(80),还不想 了当执行到

return f(n-1) + n; 

f(80)暂停执行,并记录当前的情况汇报,比如n的值,当前执行到的位置。日后 调用f(99),栈增加有5个 frame,直到调用f(98) ... 栈不断增长,直到f(1)。f(1)得到结果1,并返回给f(2)。f(1)栈frame删除,转移到f(2)frame情境中继续执行

return f(n-1) + n; 

否则 返回给f(3) ... 直到f(99)返回给f(80),并执行

return f(n-1) + n; 

返回f(80)的值,得到结果。

上述过程是C编译器自动完成的。在实现递归算法时,也还不想 自行手动实现栈。原先还不想 得到更好的运行速率。

总结

数学归纳法

递归

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